张景中院士《数学家的眼光》曾获得国家科技进步奖、国家图书奖、全国优秀科普读物一等奖、全国优秀畅销书奖，受到数学界高度评价，青少年读者热烈追捧。最近，中国少年儿童出版社推出
了该书的增补版。我们在此刊发张景中院士为该书所写序言。 ――编者
微积分学的重要，众所周知。
世界上每年都有数千万人学习微积分。
我国高中数学新课程中，也增加了微积分初步的一些内容。
微积分的基本原理，很难说得清楚明白。在数学史上，牛顿和莱布尼兹被誉为微积分的主要创建人。他们对自己创建的微积分就说不明白。当时和后来的许多杰出数学家，包括欧拉这样的伟大数学家，也说不明白。数学家使用原理说不清的方法来解决问题，引来了激烈的冷嘲热讽。
数学家是向前看的。数学家的眼光，能看出淤泥中的种子的生命力，能透过浓雾看出光明的前方。他们没有因为逻辑上的困难和人们的非议而抛弃新的方法，而是积极地挖掘新方法带来的宝藏，在不稳固的地基上设计并着手建设辉煌的大厦。
人们称此为第二次数学危机。
数学家们前赴后继，一代接着一代地思考。
在大约150年后，终于补上了微积分的基本概念上的漏洞。所用的方法，就是近百年来大学数学系微积分教程里要讲的极限定义方法，所谓ε－δ语言的方法（ε－δ读作“一不是龙逮儿它”）。这个方法是法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。
其实，用极限来说明微积分的思想，莱布尼兹早已有了。但说不明白极限的概念。概念说不明白，一系列的定理的证明只能含含糊糊。直到出现了ε－δ语言，把极限说清楚了，微积分也就说清楚了。
虽然说清楚了，但ε－δ语言学起来太辛苦。除了数学专业，大学里的理工科的高等数学课程里，都不要求掌握ε－δ语言的推理方法，只求直观地大概了解微积分的原理。
也就是说，在微积分的严谨化完成后100多年的今天，尽管每年有上千万人学习微积分，但其中90%都是知其然而不知其所以然，对微积分的原理只能做到模模糊糊地了解。
如何能够让学生轻松地弄明白微积分的原理，这是世界上数学教育领域的百年难题。
如今，难题有望解决。
解决难题的方案令人惊奇：不用极限概念，用一个初等的不等式来定义函数的导数，也能够严谨地建立微分学。
这个不等式，就是我国著名数学家林群院士提出的“一致性不等式”。
林先生提出用“一致性不等式”来定义导数，首先是为了直接地简捷推出微积分基本定理。随后我们发现，这样定义导数使更多的问题能够迎刃而解。
这样一来，微积分中最基本的部分，就成了初等数学！
一个函数和它的导数的关系，最基本最有用的命题是“导数非负则函数单调不减”。高中新课程里讲导数的应用，主要就是这个命题的应用。可是这个命题的证明就说来话长了。在非数学专业的高等数学教程里，一般不会给出它的完全证明。具体说来，这个命题可以用拉格朗日中值定理推出，拉格朗日中值定理则是用罗尔定理推出，罗尔定理的证明要用到“连续函数在闭区间上取到最大值”的性质，这条性质的证明则涉及实数理论和连续性定义。这样迂回一下，就要用两个星期！而且多数学生难于理解。
如果用“一致性不等式”来定义导数，半节课就能严谨地证明这个命题。所用的方法是初等的，高中生也能理解。
在一些数学大家的著作里，常常说，没有极限概念就无法定义导数。
现在发现，不用极限概念不但能定义导数，而且更利于展开推理。
如果当初牛顿发现了这个定义方法，第二次数学危机就没有了。数学史就要改写。
如果柯西和维尔斯特拉斯发现了这个定义方法，高等数学教学的最大难点就被消除了。
当初，用极限来定义导数，深化了人们对微积分的认识。
现在发现，不用极限也能定义导数，人们对微积分的认识更加深化了。
这真是激动人心的故事。而且就发生在我们身边。
真会这样？如何会这样？《数学家的眼光》书中新的一章，力图把这个故事交代清楚。
说起来又很平常。数学家的眼光，常能见微知著，从细节里看出大问题。这个故事说清楚了，其实并不高深，高中生能够明白。
而且，高中生应当知道这个故事。他们应当知道，课本上说不清的问题，历史上大数学家说不清楚的问题，是如何说清楚的。
他们应当知道，几百年的东西，仍然可以改进，可以做得更好。
这对于培养探索精神，增强创新意识，极有好处。
中国少年儿童出版社的薛晓哲编辑，早就建议我续写《数学家的眼光》。因为没有想到好的话题，迟迟未敢动笔。现在有了。我以为，这一内容是这本书中最有趣，最有意义的一章。
《数学家的眼光》，张景中著，中国少年儿童出版社2007年8月第一版，14.50元
